수학자가 들려주는 수학 이야기-로바체프스키가 들려주는 비유클리드 기하학 이야기 중 1

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로바체프스키가 들려주는 비유클리드 기하학 이야기는 유클리드 원론 (The Elements)에 수록 되어있는 제5 번 공준, 즉 평행선 공준을 부정하여 만든 ‘비유클리드 기하학’에 관한 이야기를 담고 있다. 유클리드 기하학은 우리가 흔히 교육과정에서 배우는 휘어지지 않은 평면 위의 기하학이다. 우리가 학교에서 직선 l 과 평행하고 점 M 을 지나는 직선은 하나라고 배우고,  어느 두 점을 지나는 최단거리의 선은 직선이며, 삼각형의 내각 의 합은 180도 라고 배우는 데, 이 종류의 기하학에서는 그렇지 않다.비유클리드 기하학은 두 종류로 나뉘는 데, 쌍곡 기하학과 구면 기하학이다. 쌍곡 기하학은 구부러진 정도, 즉 곡률이 항상 음수로  일정한 공간에서 성립하고, 구면 기하학의 경우, 구, 즉 곡률이 항상 양수로 일정한 공간에서 성립한다. 여기서 곡률이란 최저 곡률과 최대 곡률을 곱해서 얻은 값이다. (곡률은 곡선을 잘게 잘라 각 부분을 원의 호로 생각하여 그 원의 반지름의 역수의 형태, 즉 1/반지름으로 구한다. 혹은 곡률이 너무 작아 측정하기 힘든 경우 곡선의 매우 가까운 두 접선을 그리고 두 직선이 이루는 각 -양수 방향(오른쪽)과 그 사이 곡선의 길이를 구하여 이루는 각/ 곡선의 길이로 곡률을 구할 수 있다.) 일단 평행선에 관해 설명하자면  쌍곡면에서는 무한히 많이 있고 구면상에서는 없다. 그림 1은 위구나 의구라 불리는 것인데 두 원뿔 모양이 만나곳이 무한히 길며 뿔의 꼭짓점 부분의 길이도 무한하다. 따라서 어느 직선 l이 주어지고 점 P를 지날 때, 직선 m, n과 같은 평행/만나지 않는 선이 무한히 있다. 그림2 는 구면의 그림이다. 구면에서의 직선은 대원이다. 대원이란 구의 중심을 원의 중식으로 하는 원이다. 이에 따라 구면에서 대원에 수직인 서로 평행할것으로 생각 되는 직선을 그리면두 직선은 반드시 만나 평행선이란 없다. (그림 3) 두 번째로 두점의 최단거리에 대해 설명하자면 둘다 곡선이고 측지선이라 불린다. 다만 개수나 형태에 있어 차이가 있는데, 쌍곡면 상에서는 측지선이 1개이고 무한히 뻗어나간다. 하지만 구면 상에서는 두점을 이어주는 대원 상의 선중 가장 짧은 쪽이 평면 상에서의 선분, 즉 두점 사이를 잇는 가장 짧은 선의 역할을 하며, 이 선이 연장 되었을 때 (측지선)은 다시 시작점에서 만나 길이가 유한하며 수가 그림 2 와 같이 여럿 있을 수 있다.  마지막으로 삼각형의 내각에 대해 설명할 것이다, 유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각이 180도라고 배운다. 중학교 1학년 과정에 평행선을 가지고 증명하는 방법을 배운다. 그러나 비유클리드 기하학은 공간이 구부려져 있고, 아까 설명했다 싶이 평행선의 개수가 무한 일 수도, 0개 일 수도 있는 성질을 가졌다. 따라서 180도라는 사실을 증명할 수 없다. 하지만 쌍곡면에서의 삼각형들과 구면에서의 삼각형들은 각각 특징이 있다. 쌍곡면 상의 삼각형들은 각의 합이 180도 보다 작고 삼각형의 넓이가 커질수록 각도의 합이 작아진다. 반면 구면에서는 세 각의 합이 180도 보다 크고 넓이가 증가하면 각도의 합도 커진다. 이 책을 읽고 비유클리드 기하학에 대해 조사를 더 해 보았는데 내용은 다음과 같다. 비유클리드 기하학의 창시자는 가우스, 볼리아이, 로바체프스키, 리만 이고 앞에서 부터 세명은 쌍곡, 리만은 구면 기하학을 창시하였다. 그리고 피타고라스 정리도 성립할수 있으나 조건이 달라진다. 보통의 피타고라스의 정리는 a2+b2=c2의 형태인데, 쌍곡이나 구면 기하학에서는 A+B=C (A,B,C 는 각도이다)가 성립할때 참이 된다. 이는 a를 지름으로 갖는 원과, b를 지름으로 갖는 원의 넓이의 합이, c를 지름으로 하는 원의 합과 같기 때문이라 한다. 그리고 비유클리드 기하학은 쌍곡면, 구면만 있는 것이 아니라 ‘택시 기하학’이란 것도 있다. 택시기하학은 택시가 지나는 거리라 하여 이름 붙여 졌는데, 점 A와 점 B를 이동할 때 그 거리가 바둑판 모양으로(직사각형/정사각형 모양 블럭으로 만들어짐) 이루어 졌을 때 그 거리를 구한다.  점 A(a,b)와 점 B(a’,b’) 가 출발점과 도착점이면 그 거리는 d=b-a+b'-a'이고 이는 두 점 사이의 거리를 (b-a)2+(b'-a')2 로 규정하는 유클리드 기하학과 다르고 실생활에 훨씬 유용하다. 내가 이 책을 읽게 된 계기는 조금 특별하다. 내가 아는 친구와 이야기를 하고 있었는 데 그가 비유클리드 기하학과 삼각함수에 대해 이야기를 꺼냈고 그때의 피타고라스 정리의 성립에 관해 설명하였다. 그의 이야기를 듣고 나니 흥미가 생겼고 그에 관해 인터넷에 대해 더 자세히 찾아보았고 집에서 책을 찾아보니 이 책이 있어 선정하였다. 이 책을 읽고 나니 내가 알고 있던 지식에 깊이가 더해졌고 몇몇 새로운 지식을 얻게 되었다.